[Cours] [Licence - Algèbre Linéaire] : Famille Libre, Famille Génératrice et Base

Arrière plan

Famille Génératrice

Une famille de vecteur {v1, ..., vp} d'un espace vectoriel E est dite génératrice de E ( = engendre E) si tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs v1, ...., vp

Exercice :

La famille \{e_1,e_2,v\} \ tel \ qu e \ e_1=(1,0), e_2=(0,1), v=(1,2)engendre-t-elle 2 ?

  • e1=v-2e2
  • e_2=\frac{1}{2}(v-e_1)
  • v=e1+2e2

On a démontré que chaque vecteur s'écrit s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs, par conséquent, la famille \{e_1,e_2,v\} engendre 2

 

Famille libre

Une famille fini de vecteurs de E (v1, ...vp) est dite libre si \lambda_1v_1,...,\lambda_pv_p=0\rightarrow\lambda_1=0,...,\lambda_p=0.

 

Exercice :

Les vecteurs v1=(1,1,-1),v2=(0,2,1), v3=(0,0,5) sont-ils libres ? 

 

Soit \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R} tel que :

λ1v12v23v3=0

 

On en déduit le système suivant ; 

\(\left\{ \begin{array}{rcr} \lambda_1= & 0 \\ \lambda_1+2\lambda_2 = & 0 \\ -\lambda_1+\lambda_2+5\lambda_3 =&0 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcr} \lambda_1= & 0 \\ 2\lambda_2 = & 0 \\ \lambda_2+5\lambda_3 =&0 \end{array} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcr} \lambda_1= & 0 \\ \lambda_2 = & 0 \\ \lambda_3 =&0 \end{array} \right. \right.\)

 

Ainsi, les vecteurs sont libres. 

 

Les Bases

On appelle base de E, une famille de vecteurs de E à la fois libre et génératrice de E

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