[Cours] La fonction Inverse

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Etude de la fonction

Définition

La fonction inverse est une fonction mathématique, définie sur ℝ* (pour tout x \neq 0 par f(x)=\frac{1}{x}.

Exemples

La fonction inverse est une fonction mathématique : ces quelques exemples illustrent le calcul de quelques images par la fonction inverse.

  • f(-2)=-\frac{1}{2}=-0.5
  • f(\frac{5}{3})=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}
  • f(3)=\frac{1}{3}
  • f(10^2)=\frac{1}{10^2}=10^{-2}
Remarque : la fonction inverse permet, par composition, de définir des fonctions qui auront le même comportement lors de leur étude.

Propriétés

La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞;0[ et strictement décroissante sur l'intervalle ]0; +∞[. La fonction n'est ni linéaire, ni affine. Son tableau de variation sur son ensemble de définition est :

Remarque : la fonction inverse est impaire. En d'autres termes, pour tout x appartenant au domaine de définition (soit ℝ*), on a l'égalité f(x) = -f(x).

Représentation graphique : hyperbole d'équation y= \frac{1}{x}

La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole. Elle est constitué de tous les points M(x;\frac{1}{x}) et a pour équation y=\frac{1}{x}. Le point O(0;0), qualifié de centre de symétrie de l'hyperbole dans un repère orthonormé, n'existe pas : 0 n'as pas d'image par la fonction \frac{1}{x}

Démonstration de la symétrie en O(0;0)

Pour tout réel x non nul on a : \frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}.
Les points M(-x;\frac{1}{x}) et M'(x;\frac{1}{x}) appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par rapport au point O(0;0). Ainsi, le point O(0;0) est le point de symétrie de cette hyperbole

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